概率

随机事件

在概率论的世界里，抛硬币、掷骰子等被统称为随机试验，每一个随机试验都会有一个或多个可能的结果，一个结果或某些结果的组合称为随机事件

概率，用于度量随机事件发生的可能性，是个定量指标，用大写字母 P 来表示。例如，随机事件 A 发生的概率是 50%，可以写成 $P(A) = 50 \%$

概率有以下两个特性：
(1) 概率是非负的，即对于任意随机事件 A，$P(A) \geq 0$
(2) 对于任一随机试验，我们假定所有可能的结果有 n 种(n > 0)，分别记为 $A_1, A_2, \cdots , A_n$，如果这些结果两两之间都不可能同时出现，则 $P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n) = 1$

条件概率

条件概率，是针对两个或两个以上的随机事件提出的概念，我们设定任意两个随机事件为 A、B，那么，在 A 已经发生的前提下，B 发生的概率就称为条件概率，记为 $P(B|A)$

和事件：随机事件 $A \cup B$ 称为 A 和 B 的和事件，它表示随机事件 A 或随机事件 B 中至少有一个发生

积事件：随机事件 $A \cap B$ 称为 A 和 B 的积事件，它表示随机事件 A 和随机事件 B 同时发生。通常地，把 $A \cap B$ 简写为 AB

概率加法：对任意两个随机事件 A 和 B，有 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

概率乘法：对任意随机事件 B 和满足 P(A) > 0 的随机事件 A，有 $P(AB) = P(B|A) \cdot P(A)$

概率乘法中出现了条件概率 $P(B|A)$，事实上，概率乘法的另一种表达方式正是条件概率的数学定义

设随机事件 A 和 B，满足 P(A) > 0，则 $P(B|A) = P(AB) / P(A)$

$P(B|A)$ 和 $P(B)$ 没有确定不变的大小关系，前提条件对随机事件产生的影响无法预测！

独立事件

通俗地讲，彼此没有任何关联的事件称为独立事件。比如，你和我各自抛一枚硬币，你抛硬币出现正面和我抛硬币出现正面是两个毫不相干的随机事件，此时，我们就称这两个事件彼此独立，互为独立事件

(1) 一个随机事件发生两次的概率不等于一个随机事件再次发生的概率
(2) 不可能同时发生的事件不是互相独立的
(3) 独立事件的含义是，不论一个随机事件发生还是不发生，都不会影响另一个随机事件发生的概率

独立事件的含义是：当一个随机事件发生时，不影响另一个随机事件发生的概率。这听起来很像条件概率的定义，实际上，这句话等价于下面的数学表达式

$$P(B|A) = P(B)$$

结合概率乘法的式子 $P(AB) = P(B|A) \cdot P(A)$，就可以得到，当随机事件 A 和随机事件 B 相互独立时，$P(AB) = P(B) \cdot P(A)$

设 A 和 B 是两个随机事件，如果满足 $P(AB) = P(B) \cdot P(A)$ 则称 A 和 B 互相独立，或称 A 和 B 互为独立事件

全概率公式

设随机试验 E 共有 n 种可能的结果 $A_1, A_2, \cdots, A_n$，这些结果两两不可能同时出现，那么，任一随机事件 B 的概率满足

$$P(B) = P(B|A_1)\cdot P(A_1) + P(B|A_2)\cdot P(A_2) + \cdots + P(B|A_n)\cdot P(A_n)$$

这就是全概率公式。它隐含的思想正是我们在数学课上常用的“分情况讨论”，只不过，这里要求我们一定要把所有情况都列举全，而且不同的情况之间不能有交叉重叠

请问，抛掷一次硬币两次，出现至少一次正面的概率是多少？

可以马上想到计算两次都是反面的概率，然后用 1 减去这个概率，这是很聪明的想法，但在这里，可以来练习一下全概率公式设

随机事件 $A_1$: 第一次抛硬币出现正面
随机事件 $A_2$: 第一次抛硬币出现反面
随机事件 $B_1$: 第二次抛硬币出现正面
随机事件 $B_2$: 第二次抛硬币出现反面
随机事件 $C$: 两次至少出现一次正面

根据全概率公式：

$$P(C) = P(C|A_1)\cdot P(A_1) + P(C|A_2)\cdot P(A_2) = 1\cdot P(A_1) + P(B_1)\cdot P(A_2) = 1 \times 1/2 + 1/2 \times 1/2 = 3/4$$

至少出现一次正面的概率是 3/4