分布

分布是随机变量的取值与其对应概率的关系

例如，抛硬币试验中，设反面为 0，正面为 1，随机变量 X 为抛出硬币的数值，X 的分布如表所示

X 取值	概率
0	1/2
1	1/2

又如，掷骰子试验中，随机变量 Y 为抛出的点数，Y 的分布如表所示

Y 取值	概率
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

利用分布，可以计算出随机变量的期望和方差

等概率分布

抛硬币是概率论中最常见的随机试验，不仅因为硬币很常见，也因为抛硬币试验中，随机变量的分布是最简单的等概率分布

等概率分布，顾名思义，就是随机变量每一个取值的出现概率都相等。

$P(X = a_k) = 1/n, k = 1, 2, \cdots, n$
$E(X) = (a_1 + a_2, + \cdots + a_n) / n = \sum_{k=1}^n a_k/n$
$Var(X) = \sum_{k = 1}^n(a_k - E(X))^2 / n$

几何分布

仍以抛硬币为例，已知出现正反两面的概率各为 1/2，在反复抛硬币的过程中，我们设定随机变量 X 表示第一次出现反面时抛硬币的次数，我们列出 X 的概率分布，如表所示

X	P(X)
1	1/2
2	$(1/2) \times (1/2) = 1/4$
3	$(1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/8$
4	$(1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16$
...

用数学公式来表达为

$P(X=k) = (1/2)^{k-1} \times (1/2), k = 1, 2, 3, \cdots$

式中，$(1/2)^{k-1}$ 表示前 k-1 次都是正面，乘号后面的 1/2 表示第 k 次是反面

以骰子游戏为例，设定随机变量 Y 表示第一次出现六点时抛掷骰子的次数，列出 Y 的概率分布

Y	P(Y)
1	1/6
2	$(5/6) \times (1/6) = 5/36$
3	$(5/6) \times (5/6) \times (1/6) = 25/216$
4	$(5/6) \times (5/6) \times (5/6) \times (1/6) = 125/1296$
...

用数学公式来表达为

$P(Y=k) = (5/6)^{k-1} \times (1/6), k = 1, 2, 3, \cdots$

式中，$(5/6)^{k-1}$ 表示前 k-1 次都不是六点，1/6 表示第 k 次是六点

设随机试验只有两种结果 A 和 B，A 出现的概率是 p，B 出现的概率是 1-p，反复进行该随机试验，随机试验之间彼此独立，随机变量 X 表示 A 第一次出现时随机试验进行的次数，此时我们称随机变量 X 服从几何分布

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, k = 1, 2, 3, \cdots$
$E(X) = 1/p$
$Var(X) = (1-p)/p^2$

二项分布

二项分布来源于伯努利试验，所谓伯努利试验就是只有两种可能结果的随机试验，比如抛硬币。

当一个伯努利试验独立地重复进行 n 次时，几何分布只能告诉我们第一次何时发生，二项式分布则可以告诉我们各种可能的结果发生的概率。

设伯努利试验有两种可能结果 A 和 B，事件 A 发生的概率是 p，事件 B 发生的概率是 1-p，独立地重复进行 n 次试验，设随机变量 X 表示事件 A 发生的次数，我们称随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记为 X~b(n, p) 并且

$P(X = k) = C_n^k \cdot (1-p)^{n-k} \cdot p^k$
$E(X) = np$
$Var(X) = np(1-p)$

泊松分布

如果你每天走在路上，被鸟粪砸中的概率刚好是 1/365，你一年里一次都没被砸中的概率是多少？

如果飞机失事的概率是百万分之一，你坐一百万次飞机还没遇到事故的概率是多少？

答案都是 37%

神奇的常数 e

37%，这个数字对大多数人来说很陌生，或许只有数学家才会知道，这个数字正是 1/e 的值。e 是自然对数底，是个无限不循环小数，数值为 $2.7182\cdots$。提起数学中的常数，大多数人首先想到 $\pi$，其实自然对数底 $e$ 也是数学世界中十分重要的常数。

通过一个复利小故事来了解 e 的由来

有一天，一个生意人急着用钱，便向一个财主借钱。财主见生意人十分着急，便趁机抬高利息，他开出的条件是，生意人每借 1 两银子，就要在一年后还 2 两银子，利率高达 100%！正在生意人犹豫不决之时，财主又有了一个主意，他想，如果改成半年的利率 50%，还是借一年，那么，半年后可以得到 1.5 两银子，一年后就可以得到 2.25 两银子，这样赚的更多！他赶紧收回了此前的条件，改成了半年还钱的新条件。可是，话刚说完，他就又后悔了。既然半年还钱比一年还钱赚得更多，那为何不改为每月还钱、每周还钱、每天还钱呢？于是财主赶紧回屋拿起笔来算一算

半年还一次，利率 50%，还钱总数是 $(1 + 0.5)^2 = 2.25$(两)
每月还一次，利率 1/12，还钱总数是 $(1 + 1/12)^{12} = 2.6130$(两)
每周还一次，利率 1/52 ，还钱总数是 $(1 + 1/52)^{52} = 2.6926$(两)
每天还一次，利率 1/365，还钱总数是 $(1 + 1/365)^{365} = 2.7146$(两)

计算结果让财主十分失望，还钱总数并没有预想的那么多。如果我们把每天再拆成每一小时，每一分钟、每一秒钟，还钱总数会增长的更加缓慢，最终会越来越接近神奇的自然对数底 e。从数学的角度来看，当 x 趋于无穷大时，$(1 + 1/x)^x$ 的极限值正是 e。

1/e 的值是 $0.3679\cdots$，近似为 37%，它与小概率事件之间的神秘关系源于“小概率事件定律”。小概率事件定律，是指一个十分罕见的随机事件，几乎只发生过一次，并且今后能否再次发生难以预测，那么这个事件不再发生的概率是 1/e。

小概率事件听起来有些玄妙，其实背后也是有数学原理的，这就是泊松分布

泊松定理

设随机变量 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，其分布律为

$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} (k = 0,1,2,\cdots,n)$$

又设 $np = \lambda$($\lambda > 0, \lambda$ 为常数)，则有

$$\lim_{n\to \infty}C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}$$

证明：

$$\lim_{n\to \infty}C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\\ = \lim_{n\to \infty}\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1 - \frac{\lambda}{n}) ^ {n - k}\\ = \lim_{n\to \infty}\frac{\lambda^k}{k!} \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n}) \cdot (1 - \frac{\lambda}{n})^{-k} (1 - \frac{\lambda}{n})^{n}\\ = \lim_{n\to \infty} \frac{\lambda^k}{k!} \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1^{-k} \cdot ((1 - \frac{\lambda}{n})^{-\frac{n}{\lambda}})^{-\lambda} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

证明中用到

$$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$$

当试验的次数 $n$ 很大，成功的概率 $p$ 很小，$\lambda = np$ 大小适中时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即

$$C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda ^k}{k!} e^{-\lambda} (k = 0, 1, 2, \cdots, n)$$

实际应用中，当 $p \leq 0.05, n > 20, np \leq 5$ 时近似效果良好，这种近似会帮助我们大大简化计算过程

泊松分布

被雷劈、中彩票、飞机失事等小概率事件总是让人难以捉摸，它们很少发生，几乎无法预测，即便如此，概率统计还是有办法用数学公式来描述它们。泊松分布正是用来描述那些无法预测的小概率事件发生次数的分布，设随机变量 $X$ 表示某事件发生的次数，若 $X$ 服从泊松分布，则有

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k = 0, 1, 2, \cdots$$

则称 X 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 X~P($\lambda$)

公式中的 $\lambda > 0$ 是一个常数，泊松分布的期望和方差都是 $\lambda$

当 $k = 0$、$\lambda = 1$ 时，$P(X = 0) = 1/e$，这便是小概率事件定律的数学原理

泊松分布的背景及应用

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似于 1837 年由法国数学家泊松引入的

1) 1837 年法国数学家泊松(D.Poisson, 1781-1840)首次提出
2) 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度，面积，体积之内每一事件出现次数的分布
3) 泊松分布主要用于某稀疏事件在特定时间内或空间内发生的次数，泊松分布的例子：

• 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数
• 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数
• 一定路段内，路面出现大损坏的次数
• 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数
• 一定页数的书刊上出现的错别字个数

寿命保险问题

设某保险公司的某人寿保险险种有 2500 人投保，在一年内，每个人死亡的概率为 0.002，且每个人是否死亡是相互独立的，每个参加保险的人在 1 月 1 日需交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取 2000 元赔偿金。

试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利不少于 10000 元的概率；(3) 保险公司获利不少于 20000 元的概率

解：保险公司年总收入为 $2500 \times 12 = 30000$ 元，设 $X$ 为 2500 个投保人中在未来一年内死亡的人数，对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，2500 人就是做 2500 重伯努利试验，因此 X~b(2500, 0.002)

(1) 保险公司在这一年中应付出 2000X 元，要使保险公司亏本，则必须 2000X > 30000，即 X > 15
由此知：P(保险公司亏本) = P(X > 15) = 1 - P($X \leq 15$) = $1 - \sum_{k=0}^{15} C_{2500}^k 0.002^k 0.998^{2500 - k}$ $\approx 1 - \sum_{k=0}^{15} \frac{5^k}{k!} e^{-5}$ $\approx 0.000069$

(2) P(保险公司获利不少于 10000 元) = P(30000 - 2000X $\geq$ 10000) = P(X $\leq$ 10) = $\sum_{k = 0}^{10} C_{2500}^k 0.002^k 0.998^{2500 - k}$ $\approx 1 - \sum_{k=0}^{10} \frac{5^k}{k!} e^{-5}$ $\approx 0.986305$

(3) P(保险公司获利不少于 20000 元) = P(30000 - 2000X $\geq$ 20000) = P(X $\leq$ 5) = $\sum_{k = 0}^{5} C_{2500}^k 0.002^k 0.998^{2500 - k}$ $\approx 1 - \sum_{k=0}^{5} \frac{5^k}{k!} e^{-5}$ $\approx 0.615961$

以上结果说明“保险公司为何乐于开展保险业务”的原理

正态分布(高斯分布)