偏导数

考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。以二元函数 $z = f(x, y)$ 为例，如果只有自变量 $x$ 变化，而自变量 $y$ 固定(即看做常量)，这时它就是 $x$ 的一元函数，这函数对 $x$ 的导数，就称为二元函数 $z = f(x, y)$ 对于 $x$ 的偏导数

定义 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量

$$f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$$

如果

$$\lim_{\Delta \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，那么称次极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$$\frac{\theta z}{\theta x}|_{x=x_0, y=y_0}, \frac{\theta f}{\theta x}|_{x=x_0, y=y_0},z_x|_{x=x_0, y=y_0},f_x(x_0, y_0)$$