极限

数列的极限

我们对数列 $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \cdots, \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}, \cdots$ 进行分析

在这数列中，$x_n = \frac{n + (-1)^{n-1}}{n} = 1 + (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$

我们知道，两个数 $a$ 与 $b$ 之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 $|b-a|$ 来度量(在数轴上 $|b - a|$ 表示点 $a$ 与点 $b$ 之间的距离)，$|b - a|$ 越小，$a$ 与 $b$ 就越接近

就上面这个数列来说，因为 $|x_n - 1| = |(-1)^{n-1}\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}$

由此可见，当 $n$ 越来越大时，$\frac{1}{n}$ 越来越小，从而 $x_n$ 就越来越接近于 $1$. 因为只要 $n$ 足够大，$|x_n - 1|$ 即 $\frac{1}{n}$ 可以小于任意给定的正数，所以说，当 $n$ 无限增大时，$x_n$ 无限接近于 $1$.
例如，给定 $\frac{1}{100}$，欲使 $\frac{1}{n} < \frac{1}{100}$，只要 $n > 100$，即从第 $101$ 项起，都能使不等式 $|x_n - 1| < \frac{1}{100}$ 成立.
同样地，如果给定 $\frac{1}{10000}$，那么从第 $10001$ 项起，都能使不等式 $|x_n -1| < \frac{1}{10000}$ 成立.
一般地，不论给定的正数 $\epsilon$ 多么小，总存在着一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|x_n - 1| < \epsilon$ 都成立. 这就是数列 $x_n = \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}(n = 1, 2, \cdots)$ 当 $n \to \infty$ 时无限接近于 $1$ 这件事的实质.
这样的一个数 $1$, 叫做数列 $x_n = \frac{n + (-1)^{n-1}}{n}(n = 1, 2, \cdots)$ 当 $n \to \infty$ 时的极限

一般地，有如下数列极限的定义:

定义: 设 ${x_n}$ 为一数列，如果存在常数 $a$, 对于任意给定的正数 $\epsilon$(不论它多么小)，总存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，不等式

$$|x_n - a| < \epsilon$$

都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 ${x_n}$ 的极限，或者称数列 ${x_n}$ 收敛于 $a$，记为

$$\lim_{n \to \infty}x_n = a$$

或

$$x_n \to a(n \to \infty)$$

上面定义中正数 $\epsilon$ 可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式 $|x_n - a| < \epsilon$ 次啊能表达出 $x_n$ 与 $a$ 无限接近的意思. 此外还应注意到: 定义中的正整数 $N$ 是与任意给定的正数 $\epsilon$ 有关的，它随着 $\epsilon$ 的给定而选定

为了表达方便，引入记号 "$\forall$" 表示 "对于任意给定的" 或 "对于每一个"，记号 "$\exists$" 表示 "存在". 于是 "对于任意给定的 $\epsilon$" 写成 "$\forall \epsilon > 0$"，"存在正整数 $N$" 写成 "$\exists$ 正整数 $N$"，数列极限 $\lim_{n \to \infty}x_n = a$ 的定义可表达为

$\lim_{n \to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0$, $\exists$ 正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \epsilon$

注意：在利用数列极限的定义来论证某个数 $a$ 是数列 ${x_n}$ 的极限时，重要的是对于任意给定的正数 $\epsilon$，要能够指出定义中所有的这种正整数 $N$ 确实存在

函数的极限

例：证明 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

证：这里，函数在点 $x = 1$ 是没有定义的，但是函数当 $x \to 1$ 时的极限存在或不存在与它并无关系.

事实上，$\forall \epsilon > 0$，将不等式 $|\frac{x^2 - 1}{x-1} - 2| < \epsilon$ 约去非零因子 $x - 1$ 后，就化为 $|x + 1 - 2| = |x- 1| < \epsilon$

因此，只要取 $\delta = \epsilon$，那么当 $0 < |x - 1| < \delta$ 时，就有 $|\frac{x^2 - 1}{x-1} - 2| < \epsilon$

所以 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

例：设

$$f(x) = \begin{cases} x - 1, x < 0\\ 0, x = 0\\ x + 1, x > 0\\ \end{cases}$$

证明：当 $x \to 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在

证：当 $x \to 0$ 时 $f(x)$ 的左极限 $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}}(x-1) = -1$，而右极限 $\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}(x-1) = 1$，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在

极限运算法则

例：求 $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 3}{x^2 - 5x + 4}$

解：因为分母的极限 $\lim_{x \to 1}(x^2 - 5x + 4) = 0$，不能应用商的极限的运算法则，但因 $\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 5x + 4}{2x - 3} = 0$，故得 $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 3}{x^2 - 5x + 4} = \infty$

当 $a_0 \not = 0, b_0 \not = 0$, $m$ 和 $n$ 为非负整数时，有

$$\lim_{x \to \infty}\frac{a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \cdots + a_m}{b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \cdots + b_n} = \begin{cases} 0, 当 n>m,\\ \frac{a_0}{b_0}, 当 n = m,\\ \infty, 当 n < m.\\ \end{cases}$$