导数与微分

$\delta$ 邻域：$U(a,\delta) = (a-\delta, a+ \delta) = \{x | |x - a| < \delta\}$

去心邻域: $U_0(a, \delta) = \{x | 0 < |x - a| < \delta\}$

左邻域：$(a - \delta, a)$

右邻域：$(a, a + \delta)$

问题引入

问题1: 已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度

问题2: 求曲线的切线

由解决相关问题而发展起来的数学理论称为微分学!

定义1: 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，若极限

$$\lim_{\Delta \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，其极限值称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记为

$f^{'}(x_0)$ 或 $y^{'}_x |_{x=x_0}, \frac{dy}{dx} |_{x=x_0}, \frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$

变速直线运动的瞬时速度

$$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = s^{'}(t_0)$$

切线的斜率

$$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f^{'}(x_0)$$

导数的几何意义

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则在几何上 $f^{'}(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率

$$f^{'}(x) = \tan \alpha$$

切线方程:

$$l_T: y = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0)$$

在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比 $\frac{\Delta y}{\Delta}$ 是因变量 $y$ 在以 $x_0$ 和 $x_0 + \Delta x$ 为端点的区间上的平均变化率，而导数 $f^{'}(x_0)$ 则是因变量 $y$ 在点 $x_0$ 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度

例 1 求函数 $f(x) = C$($C$ 为常数)的导数

$$f^{'}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{C - C}{h} = 0$$

即

$$(C)^{'} = 0$$

这就是说，常数的导数等于 0

例 2 求函数 $f(x) = x^n(n \in N_+)$ 的导数

当 $n = 1$ 时，$f^{'}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h) - x}{h} = 1$

当 $n > 1$ 时，

$$f^{'}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\\ = \lim_{h \to 0}(nx^{n - 1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}) = nx^{n-1}$$

函数的求导法则

定理 1 如果函数 $u = u(x)$ 及 $v = v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 $x$ 具有导数且

$$(1) \quad [u(x) \pm v(x)]^{'} = u^{'}(x) \pm v^{'}(x)\\ (2) \quad [u(x)v(x)]^{'} = u^{'}(x) v(x) + u(x)v^{'}(x)\\ (3) \quad [\frac{u(x)}{v(x)}]^{'} = \frac{u^{'}(x)v(x) - u(x)v^{'}(x)}{v^2(x)}(v(x) \not = 0)$$

证

$$(1) \quad [u(x) \pm v(x)]^{'}\\ = \lim_{\Delta \to 0}\frac{[u(x + \Delta x) \pm v(x+\Delta x)] - [u(x) \pm v(x)]}{\Delta x}\\ = \lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta \to 0}\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\\ = u^{'}(x) \pm v^{'}(x)$$

$$(2) \quad [u(x)v(x)]^{'}\\ = \lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x + \Delta x)v(x +\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}\\ = \lim_{\Delta x \to 0}[\frac{u(x+ \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x) + u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}] \\ = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta \to 0}v(x + \Delta x) + u(x) \cdot \lim_{\Delta \to 0}\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\\ = u^{'}(x) v(x) + u(x)v^{'}(x)$$

其中 $\lim_{\Delta x \to 0}v(x + \Delta x) = v(x)$ 是由于 $v^{'}(x)$ 存在，故 $v(x)$ 在点 $x$ 连续