微分中值定理与导数的应用

函数的极值与最大值最小值

如图所示，点 $x = 1$ 及 $x = 2$ 是函数

$$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$$

的单调区间的分界点。例如，在点 $x = 1$ 的左侧附近，函数 $f(x)$ 是单调增加的，在点 $x = 1$ 的右侧附近，函数 $f(x)$ 是单调减少的。因此，存在点 $x = 1$ 的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任意点 $x$, $f(x) < f(1)$ 均成立。类似地，关于点 $x = 2$，也存在着一个去心邻域，对于这去心领域内的任何点 $x$，$f(x) > f(2)$ 均成立。

定理 1(必要条件)

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{'}(x_0) = 0$

定理 1 就是说：可导函数 $f(x)$ 的极值点必定是它的驻点。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如，$f(x) = x^3$ 的导数 $f^{'}(x) = 3x^2$，$f^{'}(0) = 0$，因此 $x = 0$ 是可导函数的驻点，但 $x = 0$ 却不是这函数的极值点。所以，函数的驻点只是可能的极值点。